Vectores. Multiplicar por un número.

Un número y un vector no pueden sumarse (sólo pueden sumarse cosas iguales) pero sí se pueden multiplicar inventando una nueva operación: el producto de un número por un vector: α·v (las letras griegas las usaremos para indicar números y las letras en negrita para los vectores).

El producto de un número por un vector es otro vector con la misma dirección que el vector original, con el mismo sentido, si el número es positivo, o sentido opuesto, si el número es negativo, y cuyo módulo será tantas veces el módulo del vector primero como indique el número por el que se multiplique.

Si multiplicamos un vector por 2’5, el vector resultante será dos veces y media el vector original. Si multiplicamos por -0’5, el resultado será la mitad de largo y apuntará en sentido opuesto.

Multiplicar un número por un vector es cambiar su tamaña según lo indicado por el número y, cuando el número es negativo, cambiar su sentido.

Igual que la suma de vectores, multiplicar un número y un vector también tiene propiedades:

v = v. Si multiplicamos el número 1 el vector no se modifica.

Al multiplicar por el número 1, el vector no cambia.

(α + β)·v = α·v + β·v. Al multiplicar una suma de números por un vector, podemos, en primer lugar, multiplicar cada número por el vector y, después, sumar los vectores resultantes. Aunque hemos empleado el mismo símbolo (+), las operaciones que aparecen a ambos lados de la igualdad no son iguales. A la izquierda estamos sumando dos números (3+5; 9+17, etc.). A la derecha estamos sumando vectores, es decir, estamos dibujando vectores como vimos en el escrito anterior.

Es lo mismo sumar primero los números y multiplicar el resultado por el vector que multiplicar cada número por el vector y sumar los vectores resultantes.

α·(v + w) = α·v + α·w. Multiplicar un número por una suma de vectores da el mismo resultado que multiplicar cada vector por el número y sumar los vectores obtenidos. Ahora el símbolo + sí están indicando la misma operación, ya que tanto a la izquierda como a la derecha de la igualdad significa suma de dos vectores.

Es lo mismo sumar dos vectores y multiplicar la suma por un número que multiplicar cada vector por el número y sumar los vectores resultantes.

(α·β)·v = α·(β·v).Multiplicar el producto de dos números por un vector da el mismo resultado que multiplicar secuencialmente los números por el vector. Como ocurría antes, el primer producto entre α y β es una multiplicación entre dos números, mientras que el producto entre β y ves una operación diferente: la multiplicación entre un número y un vector. Se representan mediante el mismo símbolo, pero indica operaciones diferentes.

Es posible multiplicar secuencialmente un producto de dos números por un vector.

Se puede demostrar, gracias a las propiedades anteriores, que al multiplicar el número cero por cualquier vector se obtiene el vector 0 (0·v = 0) y que al multiplicar cualquier número por el vector 0 también se obtiene el vector 0 (α·0 = 0).

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8 respuestas a Vectores. Multiplicar por un número.

  1. sebastian dijo:

    que pasa si multiplico dos vectores

    gracias

  2. sebastian dijo:

    que pasa si sumo dos vectores

  3. Maria Gonzalez dijo:

    Jaaa andaaadee vueloo estaa paginaaa

  4. santiago dijo:

    hola! necesito ayuda hace poco retome los estudios.. y me pide:
    Multiplicación de un vector por un número real- no entiendo muy bien ya que no ay mucha explicacion de como hacer el procedimiento.

    este es el ejercicio:
    Considerando los vectores
    →r
    y
    →t
    resolver gráficamente las operaciones
    indicadas en cada caso.

  5. santiago dijo:

    PRIMER CUADRANTE: A 2r
    SEGUNDO CUADRANTE: B -3.t
    (EN AMBOS CASOS EL VECTOR SEÑALA A LA MISMA DIRECCION, DERECHA.)

    • Juanjo dijo:

      Hola Santiago:
      Multiplicar un vector por un número es hacer un vector tantas veces mayor como indica el número, y cambiando su sentido si el número es negativo.
      2r sería un vector con la misma dirección y sentido que el vector r, pero con el doble de longitud.
      -3t sería un vector con el triple de longitud, pero apuntando hacia la izquierda.

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