Dados dos vectores, ya sabemos como sumarlos. Pero andar dibujando segmentos orientados y trazando paralelas es un proceso farragoso. Debe existir una forma más fácil de sumar vectores. O al menos más “matemática”. Las componentes de un vector nos permiten sumar vectores sin necesidad de realizar dibujos y gráficos.
Para sumar dos vectores, v y u, conociendo sus componentes, el vector suma será aquél que tiene por componente X la suma de las componentes x de los vectores originales y como componente Y la suma de las componentes y de los vectores iniciales:
(vx,vy) + (ux,uy) = (vx + ux,vy + uy)
Puesto que las componentes de los vectores son números, se ha convertido la suma de dos vectores en la suma de dos parejas de números, algo mucho más simple y ya conocido.
Las propiedades de la suma de vectores (conmutativa, asociativa, existencia de elemento neutro (el vector cuyas dos componentes valen 0) y existencia de elementos opuestos, se derivan, también, de que la suma de números tiene esas mismas propiedades:
Conmutativa: v + u = u + v
Propiedad conmutativa
Asociativa: (v + u) + w = v + (u + w)
Propiedad asociativa
Elemento neutro: v + 0 = v
Elemento neutro
Elemento opuesto: v + (-v) = 0
Elemento opuesto
Ya no necesitamos dibujar vectores para sumarlos: sumamos números, las componentes de los vectores.
Un vector, cualquier vector, se puede expresar como suma de dos vectores situados sobre los ejes de coordenadas. Cada vector sobre los ejes coordinados se puede representar como un número multiplicado por el vector unitario i, si está sobre el eje X, o j, si está sobre el eje Y. Cada uno de estos números es una componente del vector. Las componentes son números, no vectores.
Un vector se puede representar como suma de dos vectores, uno sobre cada eje coordenado.
Dadas las componentes de un vector, podemos representarlo gráficamente en el plano: su punto de aplicación estará situado en el origen de coordenadas y su ápice en el punto del plano indicado por sus componentes.
Conocidas las componentes de un vector, podemos representarlo en el plano coordenado.
Como existe esa relación unívoca entre un vector y sus componentes, podemos representar un vector no como un segmento orientado, una flecha dibujada en el plano, sino como un par de números, una cupla: dos números entre paréntesis, separados por una coma. El primer número será la componente x y el segundo la componente y.
Conociendo las componentes es posible dibujar el vector.
El vector, junto a sus componentes, forma un triángulo rectángulo, cuyos catetos tienen los valores de las componentes, así que, usando el teorema de Pitágoras, podemos calcular su intensidad o módulo.
Si conocemos las componentes de un vector, podemos calcular su módulo aplicando el teorema de Pitágoras.
Un grupo de emprendedores catalanes ha proyectado un prototipo de globo capaz de alcanzar la estratosfera. La empresa se llama Zero2Infinity y el proyecto con el que espera realizar tan espectacular viaje se denomina Bloon.
Aunque el espacio exterior se sitúa a partir de la denominada línea de Kármán, en torno a los 100 km de altura, punto en el que para que una nave se pudiese sutentar de forma aerodinámica debería llevar una velocidad equivalente a la velocidad orbital en ese punto. Ésta se calcula a partir de la constante de Gravitación, G=6.67·10-11 N·m2·kg-2, la masa de la Tierra, M=5.98·1024kg y el radio de la órbita correspondiente, 6470000m, mediante la expresión siguiente:
Velocidad orbital
Dicha velocidad resulta ser superior a 7850m/s. Es decir, 28266km/h, por lo que la supuesta aeronave completaría una vuelta a la Tierra en poco menos de 90 minutos. No existe aeronave en la Tierra capaz de autopropulsarse a esa velocidad en el escasísimo aire que se encuentra en esa región de la atmósfera. Por ello tan solo los cohetes y lanzaderas espaciales pueden alcanzar ese objetivo.
El coste económico y energético de un viaje espacial es elevadísimo, de ahí la interesante propuesta lanzada con el proyecto Bloon. Básicamente consiste en una cápsula presurizada, provista de una cabina con capacidad para cuatro pasajeros y dos pilotos, además de los sistemas electrónicos y de navegación, suspendido todo ello de un inmenso globo de helio el cual es impulsado por una fuerza ascensional que de acuerdo al Principio de Arquímedes es igual a la diferencia entre el empuje equivalente al peso de aire desalojado y el peso de todo el globo y sus componentes.
Fotomontaje del prototipo Bloon con la Tierra al fondo
Realmente no es necesario alcanzar la línea de Kármán para llegar al espacio. Se consigue la misma sensación volando a tan solo 36km de altura, percibiéndose la curvatura de nuestro planeta y un cielo totalmente negro plagado de estrellas a plena luz del día.
La idea es interesante aunque el viaje no estará al alcance de la mayoría de los bolsillos, sin embargo los caprichosos turistas que se lo puedan permitir no necesitarán un entrenamiento especial ni traspasarán barreras difíciles de olvidar, salvo la del mero placer de sumergirse en la oscuridad de un cielo cubierto de estrellas bajo un sol radiante mientras desde un confortable sillón observan diminutos detalles de este maravilloso planeta que es la Tierra.
Según la ley de la gravitación universal enunciada por Newton, todos los cuerpos se atraen con una fuerza que es proporcional al producto de sus masas en inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa:
Ley de la gravitación universal
La Tierra también cumple esta ley y atrae hacia su centro a todos los cuerpos que están en su superficie (a los que no están, también, pero nos ceñiremos a los que están cerca del suelo). Una de las masas que aparecen en la ecuación de la fuerza será la masa de la Tierra y la distancia será el radio de la Tierra:
mT y rT se refieren a la masa y el radio de la Tierra
Puesto que la masa y el radio de la Tierra no cambian, podemos englobar en un único número todas las constantes: G (constante de gravitación universal), mT (masa de la Tierra) y RT (radio de la Tierra). El resultado vale 9’8 m/s2. Exactamente g, la aceleración de la caída libre:
La acelaración de la gravedad vale 9'8 m/s2
Así que podemos escribir que la fuerza con la que la Tierra atrae a un cuerpo cercano a su superficie es:
Fuerza de atracción de la Tierra
La fuerza con la que la Tierra atrae a un cuerpo nos es muy habitual y se conoce como peso, representándola siempre con una P mayúscula. Así que podemos escribir que el peso de un cuerpo, la fuerza de atracción de la Tierra es:
Peso
El peso en una fuerza. Por lo tanto se medirá en newtons (N), no en kilogramos (kg). En el lenguaje corriente hablamos de peso en kilogramos, pero es incorrecto. La masa, que nos indica lo difícil que es parar o poner en movimiento un cuerpo, se mide en kilogramos. El peso, que es la fuerza con la que la Tierra atrae a un objeto, se mide en newton. Un cuerpo con una masa de 50 kg tendrá un peso de 490 N (50·9’8, el valor de g), otro que tenga una masa de 10 kg pesará 98 N.
En otros planetas o satélites la aceleración de caída de los objetos es diferente a la terrestre, y los cuerpos tendrán distinto peso. Pero en todos ellos la masa es la misma. Si quieres saber lo que pesas en otro planeta, puedes visitar quimicaweb.
El peso en otros planetas
La teoría de la gravitación universal de Newton fue desarrollada para explicar el movimiento de la Luna y los planetas en el cielo, pero cuando se aplica a los objetos cercanos a la superficie de la Tierra se obtiene la aceleración con la que caen los cuerpos. Una prueba más de la idoneidad de la teoría de Newton.
Todo el mundo está habituado a experimentar fuerzas: sostenemos una maleta mientras caminamos, empujamos una puerta o tiramos de una cuerda. En todos los casos hay un contacto entre nosotros y el objeto sobre el que se ejerce la fuerza: son fuerzas por contacto. Hay fuerzas, y muy importantes, en las que los objetos que interaccionan no se tocan. Fuerzas que se ejercen a distancia.
Si frotamos un bolígrafo contra un jersey de lana, el bolígrafo es capaz de atraer pequeños papeles. Los imanes de la nevera son atraídos hacia la nevera desde cierta distancia y sabemos que la Luna orbita la Tierra atraída por la fuerza de la gravedad. Son todas fuerzas que se producen a distancia, sin necesidad de contacto entre los cuerpos.
Existen dos grandes fuerzas a distancia:
Charles de Coulomb, descubridor de la ley que calcula la fuerza entre cargas.
Electromagnetismo. Se debe a la existencia de cargas eléctricas. En la naturaleza existen dos tipos de cargas, llamadas positiva y negativa. Dos cargas se atraen cuando son de diferente signo y se repelen si son de signo igual. Es decir, las cargas positivas atraen a las cargas negativas y son atraídas por estas, las cargas positivas repelen a las cargas positivas y las cargas negativas repelen, también, a las cargas negativas. La fuerza con la que las cargas se atraen o repelen viene dada por la ley de Coulomb, la fuerza entre dos cargas es proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Cuanto mayor sea el valor de las cargas, mayor será la fuerza con la que se atraen o se repelen y cuanto mayor sea la distancia, menor será la fuerza. Sin embargo, la distancia es más influyente que la carga eléctrica, ya que aparece al cuadrado. Si duplicamos la distancia entre dos cargas, la fuerza se reduce a la cuarta parte. Si multiplicamos la distancia entre las cargas por diez, la fuerza hay que dividirla por cien. La expresión matemática de la ley de Coulomb es:
Ley de Coulomb
Gravitación. La fuerza gravitatoria fue descubierta por Newton, a quien debemos las leyes de la dinámica que hemos mencionado anteriormente, y muchas otras leyes y teoremas matemáticos. Todos los cuerpos con masa, y todos los cuerpos tienen masa, se atraen con una fuerza que es proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Su expresión matemática es muy parecida a la ley de Coulomb y recibe el nombre de ley de la gravitación universal:
Ley de la gravitación universal
Si hay dos tipos cargas eléctricas y la fuerza entre ellas puede ser repulsiva, si las cargas son del mismo tipo, o atractiva, si las cargas son de distinta clase, sólo hay una masa, y la fuerza siempre es atractiva: todas las masas se atraen entre sí.
Sir Isaac Newton
Pero hay otra diferencia fundamental entre la fuerza gravitatoria y la fuerza eléctrica: la fuerza gravitatoria es muy pequeña. Sólo es apreciable cuando uno de los cuerpos que se atraen es extremadamente grande. Aunque la fuerza de la gravedad es la que controla el movimiento de las estrellas, los planetas y las galaxias, se debe a que son cuerpos con masas gigantescas. La Tierra, cuya fuerza gravitatoria notamos como peso, tiene una masa de casi seis cuatrillones de kilogramos, un seis seguido de veinticuatro ceros: 6000000000000000000000000 kg. Aunque dos personas se quieran mucho, la fuerza de atracción entre ellas es prácticamente inexistente.
Aunque empezábamos hablando de fuerzas por contacto y fuerzas a distancia, en realidad todas las fuerzas son a distancia y de naturaleza eléctrica: los átomos y moléculas tienen en su exterior electrones, con carga negativa y cuando empujamos una puerta, a nivel microscópico, nuestros electrones repelen a los electrones de la puerta, obligándola a abrirse y sin que nunca se toquen realmente.
En la naturaleza existen otras dos fuerzas: la fuerza nuclear fuerte y la fuerza nuclear débil, pero sólo se manifiestan en las partículas subatómicas.
